Números reales
Los números reales son el conjunto de números naturales, cardinales, enteros racionales e irracionales.
Los números naturales surgen de la necesidad de contar, de enumerar.1, 2, 3,…
o Los números cardinales son el conjunto de números naturales y el cero.
0, 1, 2, 3, 4, 5…
o Los números enteros consisten de los números naturales, sus opuestos y el cero.
…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
§ Número entero positivo es todo entero positivo mayor de cero.
1, 2, 3, 5,347, 1, 702,445...
§ Número entero negativo es todo entero negativo menor que cero.
-1, 000,345, -57, -3,- 4,- 2,- 1,
§ El cero representa el lugar de partida en alguna dirección. No es positivo ni negativo.
Los números racionales representan partes de un todo, un cociente que ha sido dividido en partes iguales.
⅛, 7.4, -2.35, 8, -25
Los números irracionales son números que no pueden ser expresados como cociente de dos números enteros.
Numeros Fraccionarios
Los Numeros Fracciónarios , son el cociente indicado
a/b
de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b. Ha de ser b ≠ 0.
Por ejemplo, en la fracción 3/5 el denominador, 5, indica que son “quintas partes”, es decir, denomina el tipo de parte de la unidad de que se trata; el numerador, 3, indica cuántas de estas partes hay que tomar: “tres quintas partes”.
Si el numerador es múltiplo del denominador, la fracción representa a un número entero:
14/2=7; -15/3=-5; 352/11= 32
Dos fracciones a/b y a'/b' son equivalentes, y se expresa
a/b = a'/b'
si a · b′ = b · a′.
si a · b′ = b · a′.
Así,
21/28= 9/12
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
porque 21 · 12 = 9 · 28 = 252.
Si el numerador y el denominador de una fracción son divisibles por un mismo número, d, distinto de 1 o -1, al dividirlos por d se obtiene otra fracción equivalente a ella. Se dice que la fracción se ha simplificado o se ha reducido:
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
a/b=a.d'/b.d'=a'/b'
Por ejemplo:
120/90= 12/9
120/90= 12/9
La fracción 12/9 es el resultado de simplificar 120/90 dividiendo sus términos por 10
Se dice que una fracción es irreducible si su numerador y su denominador son números primos entre sí.
La fracción 3/5 es irreducible. La fracción 12/9 no es irreducible porque se puede simplificar:
12/= 4/3
12/= 4/3
Reducir dos o más fracciones a común denominador es obtener otras fracciones respectivamente equivalentes a ellas y que todas tengan el mismo denominador. Si las fracciones de las que se parte son irreducibles, el denominador común ha de ser un múltiplo común de sus denominadores. Si es el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de ellos, entonces se dice que se ha reducido a mínimo común denominador.
Por ejemplo, para reducira común denominador las fracciones
2/3, 4/9 y 3/5
se puede tomar 90 como denominador común, con lo que se obtiene:
2/3=60/90, 4/9=40/90, 3/5=54/90
Es decir,
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
es el resultado de reducir las tres fracciones anteriores a un común denominador: 90.
Pero si en vez de 90 se toma como denominador común 45, que es el m.c.m. de 3, 9 y 5, entonces se obtiene
30/45, 20/45, 27/445
que es el resultado de reducir las tres fracciones a su mínimo común denominador.
Para sumar dos o más fracciones se reducen a común denominador, se suman los numeradores de éstas y se mantiene su denominador. Por ejemplo:
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
2/3+ 4/9 y+3/5 = 30/45+ 20/45+27/45 =30+20+27/45=77/45
El producto de dos fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de sus numeradores y cuyo denominador es el producto de sus denominadores:
a/b * c/d = a*c/b*d
a/b * c/d = a*c/b*d
La inversa de una fracción a/b es otra fracción,b/a , que se obtiene permutando el numerador y el denominador. El producto de una fracción por su inversa es igual a 1:
a/b * b/a=a*b/b*a=1/1=1
El cociente de dos fracciones es el producto de la primera por la inversa de la segunda:
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
a/b : p/q , a/b*q/p, a*q/b*p
Fracciones comunes
Una fracción común es una cantidad dividida por otra. Es importante recordar que cualquier número que se pueda escribir así: b/a se llama número racional.
Las fracciones representan una división; y también, parte de un entero. Una fracción la podemos representar de la siguiente manera:
Numerador: número de partes que se consideran.
Denominador: partes iguales en que hemos dividido el grupo, unidad o conjunto.
|
Clasificación de Fracciones
Fracción propia: Son aquellas fracciones donde el numerador (1) es menor que el denominador (2), y por lo tanto, el resultado es un valor comprendido entre cero y uno.
1
- = 0,5 ; es menor a 1
2
- = 0,5 ; es menor a 1
2
Fracción impropia: Una fracción es impropia cuando su denominador (1) es menor al numerador (3), por lo que el resultado es un valor mayor que 1.
3
- = 3 ; es mayor a 1
1
- = 3 ; es mayor a 1
1
Fracción unitaria: Decimos que una fracción es unitaria, cuando su resultado nos da como valor la unidad (1). Para que esto suceda, el numerador (4) y denominador (4) deben poseer el mismo valor.
4
- = 1
4
- = 1
4
Fracción de un Número
Para poder saber cuál es la fracción de un número, por ejemplo: 2/4 de 16, debemos dividir el número que deseamos fraccionar (16), por su denominador (4), y luego multiplicarlo por el numerador (2).
16:4 = 4; 4 x 2 = 8
Así:
Si realizamos la operación nos da que como resultado que dos cuartos de 16 es 8.
Para entender mejor, imagina que cada cuadrado de la región representa al denominador, y lo que encerramos y destacamos con naranjo, al numerador.
Así, cuando queremos encontrar los 2/4 de 16, debemos pensar que a 16 primero lo debemos divididir en cuatro grupos (representado por el denominador), y que luego de esos cuatro grupos sólo tomamos dos, porque así se señala en el numerador.
Números Decimales
Los números decimales son valores que denotan números racionales e irracionales, es decir que los números decimales son la expresión de números no enteros, que a diferencia de los números fraccionarios, no se escriben como el cociente de dos números enteros sino como una aproximación de tal valor.
¿Qué son números decimales?
Un número decimal, por definición, es la expresión de un número no entero, que tiene una parte decimal. Es decir, que cada número decimal tiene una parte entera y una parte decimal que va separada por una coma, y son una manera particular de escribir las fracciones como resultado de un cociente inexacto.
La parte decimal de los valores decimales se ubica al lado derecho de la coma y en la recta numérica, esta parte estaría ubicada entre el cero y el uno, mientras que la parte entera se la escribe en la parte derecha. En el caso de que un número decimal no posea una parte entera, se procede a escribir un cero al lado izquierdo o delante de la coma. Aquí varios ejemplos para ilustrar estos casos:
7,653
En este valor podemos ver que el número entero se encuentra primero es siete o 7, delante de la coma o a su izquierda, mientras que la parte decimal, que en es te caso contra de tres cifras es 653 y se encuentra a la derecha de la cifra.
0,23
En este otro ejemplo, vemos que la parte decimal tiene solo dos cifras, pero la parte entera se reduce a cero, por lo tanto se deduce que la parte entera es nula y debe ser expresada de esa manera.
4 + 0,23 = 4,23
Este ejercicio nos demuestra como la parte entera se une con la parte decimal a través de una suma que indica que la parte entera es 4 mientras que la parte decimal se reduce a un número menor que uno pero mayor que cero, en este caso 0,23.
Clasificación de los números decimales
Existen varias formas de separar los números decimales; puede ser con una coma, con un punto o con un apóstrofe según se acostumbre y se desee, pero también existen varias formas de números decimales, entre los que tenemos:
Números decimales exactos.- estos son valores cuya parte decimal posee un número limitado de cifras decimales y se pueden escribir sin un excesivo esfuerzo, como estos:
0,75; 2,6563; 6,32889
Números decimales periódicos.- son aquellos que tienen un número ilimitado o infinito de cifras decimales, pero que se repiten en un patrón o período determinado que es visible dentro de un número de cifras variable en cada caso. Para denotar que se trata de un número infinito, que no puede ser escrito indefinidamente por un ser humano, se utilizan tres puntos seguidos que significa infinidad, por ejemplo.
1,333333333…; 6,0505050505…; 5,325483254832548…
Números decimales periódicos puros.-donde los números decimales son parte del mismo grupo como:
3,63636363…
Números decimales periódicos mixtos.- donde existen cifras que están fuera del periodo o patrón de cifras decimales, como en:
9,36666666…
Números decimales no periódicos.- estos números tienen cifras decimales infinitas que no pueden ser definidas como un patrón, un buen ejemplo de números decimales no periódicos, son los números irracionales, como:
El número Pi, o como se lo conoce mejor con su símbolo π. Su valor es el cociente entre la longitud o perímetro de la circunferencia y la longitud de su diámetro. De él se han calculado millones de cifras decimales y aún sigue sin ofrecer un patrón. La aproximación de su número es 3.141592653589…
Composición de un número decimal
Los números decimales se componen de cifras que son separadas de la parte entera con una como, un punto o un apóstrofe, como se señalaba en la parte anterior. Pero estas cifras también tienen una característica que las diferencia según la posición de su denominador. Las décimas se ubican un lugar después de la coma o separador; las centésimas están dos lugares después del separador; las milésimas en el tercer lugar y así podríamos seguir con las diezmilésimas, las cienmilésimas, etc.
Por ejemplo en el número 7,951 notamos que 7 es la parte entera, 9 es la décima, 5 es la centésima y 1 es la milésima.
Operaciones con números decimales
Suma y resta
Para sumar y restar números decimales, debemos anotar cada valor en forma vertical, para facilitar la operación, de tal manera que la coma quede en la misma columna, incluso si la parte entera de un valor tenga más cifras que el otro, como se ve en el ejemplo siguiente:
3,48
9,657
A continuación, se iguala el número de cifras decimales de cada valor si es necesario, añadiendo uno o varios ceros al valor con menos cifras decimales para que queden con el mismo número, pues el cero añadido a la derecha de la parte decimal no altera el valor, así:
3,480
9,6570
Finalmente se suma de manera tradicional, sin tomar en cuenta la coma, y al resultado final se le añade la coma en l misma posición que se encuentra en ambos valores sumados o restados.
3,480
+9,657
=13,137
Multiplicación
Para multiplicar dos números decimales, o un número decimal por un número entero, se resuelve la operación sin tomar en cuenta la coma. Luego el número de cifras decimales será la suma del número de cifras decimales de los dos factores, es decir que si un factor tiene dos cifras decimales y el otro tiene una cifra decimal, quiere decir que el resultado deberá tener tres cifras decimales, como en el siguiente ejemplo
3,25 x 2,7
325
X27
2275
650
=8,775
Ahora con un ejemplo, como multiplicar un número decimal por un entero, donde simplemente se siguen las reglas anteriores, con la diferencia de que el número entero tiene cero cifras decimales por lo tanto el número de cifras decimales del resultado se mantiene como en el factor decimal, veamos:
3,25 x 2
325×2=650
=6,50
Para multiplicar números decimales por cifras que son múltiplos de diez, solo recorremos la coma hacia la derecha tantos espacios como ceros tenga el múltiplo de diez, y en el caso de que tengamos que seguir recorriendo y ya no haya cifras decimales, añadimos ceros al resultado, de esta manera:
3,568×10 = 35,68
3,568×100 = 356,8
3,568×1000 = 3568
3,568×10000 = 35680
División
Para dividir números decimales, tenemos varios casos según los decimales se encuentren en el divisor, en el dividendo o en ambos.
Para dividir cuando el dividendo es decimal, se hace la división sin tomar en cuenta la coma y al obtener la primera cifra decimal, se pone la coma en el resultado y se sigue dividiendo de la misma manera.
526,6562 / 7
36 75,2366
16
25
46
42
0
Para dividir cuando el decimal se encuentra en el divisor, se debe recorrer la coma hasta el final de la cifra del divisor, mientras que en el dividendo se añaden ceros por el mismo número de espacios recorridos por la coma. Y se procede a dividir de manera normal.
6824 / 36,58
682400 / 3658
Cuando el dividendo y el divisor son números decimales, recorremos las comas por tantos espacios sean necesarios para que desaparezca del número con más cifras decimales. Mientras que en el número que tiene menos cifras decimales se irán añadiendo ceros según los espacios que falten, y se procede a dividir de la manera tradicional.
32,698 / 8,25
32698 / 8250
Para dividir un número decimal para una cifra múltiplo de diez se debe retroceder la coma hacia la izquierda según el número de ceros que tenga el múltiplo de diez, y si excede el número de espacios, se debe añadir ceros mientras se mantiene la coma y un cero a su izquierda, como a continuación.
3568/10 = 356,8
3568/100 = 35,68
3568/1000 = 3,568
3568/10000 = 0,3568
3568/100000 = 0,03568
El porcentaje o tanto por ciento (%), es una de las aplicaciones más usadas de las proporciones o razones.
El porcentaje es una forma de comparar cantidades, es una unidad de referencia que relaciona una magnitud (una cifra o cantidad) con el todo que le corresponde (el todo es siempre el 100), considerando como unidad la centésima parte del todo.
Nota importante. No olvidar que las fracciones deben expresarse siempre lo más pequeñas posible, deben ser fracciones irreductibles.
¿Qué significa 50 %?: Significa que de una cantidad que se ha dividido en cien partes se han tomado 50 de ellas, o sea, la mitad.
¿Qué significa 25 %?: Significa que de un total de 100 partes se han tomado 25, o sea ¼ ( 25/100 al simplificar por 5, se reduce a ¼).
Cálculo de Porcentaje
El Porcentaje o Tanto por ciento se calcula a partir de variablesdirectamente proporcionales (significa que si una variable aumenta la otra también aumenta y viceversa).
En el cálculo intervienen cuatro componentes:
Cantidad Total ---- 100 %
Cantidad Parcial ---- Porcentaje Parcial
Cantidad Parcial ---- Porcentaje Parcial
Ejemplo
(Cantidad total) $ 1.000 - equivale al - 100 % (porcentaje total)
(Cantidad parcial) $ 500 - equivale al - 50 % (porcentaje parcial)
(Cantidad parcial) $ 500 - equivale al - 50 % (porcentaje parcial)
Existen tres situaciones o tipos de problemas que pueden plantearse. Éstos son :
RAZONES Y PROPORCIONES
1. RAZONES
La razón de dos números resulta de dividir ambos números. Por ejemplo la razón de 7 a 4 se escribe 7/4 o 7:4 y se lee siete es a cuatro. El primer término es el antecedente y el segundo consecuente.
2. PROPORCIONES.
Consiste en la igualdad entre 2 razones y se representa de dos maneras:
a/b=c/d o a:b::c:d
Y se lee a es a b como c es a d. Los puntos a y d se llaman extremos y los puntos b y c se llaman medios.
PROPIEDADES.
A) En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de los extremos.
a×d=b×c
B) En toda proporción un MEDIO es igual al producto de los eztremos dividido por el otro MEDIO.
b= a×d͟∕c
C) En toda proporción un EXTREMO Es igual al producto de los medios dividido por el otro EXTREMO.
a=b×c∕d
PROPORCIONALIDAD DIRECTA.
Cuando el cociente entre dos magnitudes constante decimos que las magnitudes son directamente proporcionales.
EJEMPLO
Si un kilogramo de naranjas cuesta $1200 ¿Cuánto cuestan 8 kilogramos?
1/3=1200/x → x=1200×3/1 x= $3600
EXAMPLE
1. Por cada 5 libras de peso en una persona, aproximadamente 2 l ibras son de músculo. Calcular cuanto pesan los músculos en un niño de 4lb, 62Lb, 85Lb.
2.El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2, 5, 7, 10 galones,
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla
N Vueltas
|
4
|
8
|
20
|
23
|
30
| ||
Tiempo
|
12
|
35
|
50
|
PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Si una magnitud crece mientras la otra decrece decimos que son dos magnitudes inversamente proporcionales. El producto constante se llama constante de proporcionalidad inversa.
Cuando el producto de cada par de valores de magnitudes que se relacionan es constante, son inversamente proporcionales.
EJEMPLO.
En una camioneta se puede transportar 280 litros de agua. la tabla muestra algunas posibilidades de transportar el agua, según el número de garrafas y la capacidad de cada uno.
Nª DE GARRAFAS
|
CAPACIDAD DE GARRAFA (L=
|
PRODUCTO
|
10
|
28
|
280
|
20
|
14
|
280
|
40
|
7
|
280
|
70
|
4
|
280
|
140
|
2
|
280
|
Como el producto de ellas es constante (280), entonces las magnitudes número de garrafas y su capacidad en litros son inversamente proporcionales.
EJERCICIOS.
1. Por cada 5 libras de peso de una persona, aproximadamente dos libras son de musculo. Calcular cuanto pesa un niño de 45 libras, 62 libras, 85 libras.
2. El precio por galón de gasolina es de $3250. Elaborar una tabla que indique el precio de 2 galones, 3 galones, 7 galones y 12 galones
3. Juan entrena ciclismo. La siguiente tabla registra el número de vueltas y el tiempo empleado por vuelta. Completa la tabla.
Nª DE VUELTAS
|
4
|
8
|
20
|
23
| |||
TIEMPO EMPLEADO
|
12
|
35
|
42
|
50
|
4. la tabla describe la relación entre el número de obrero y el número de días que tardan en hacer un trabajo.
OBREROS
|
6
|
12
|
40
| |
DIAS
|
30
|
10
|
a) Completar la tabla
b) ¿Cuántos obreros se necesitan, para completar la obra en 4 días?
c) ¿Cuántos días tardaran 14 obreros en hacer la misma obra?
5. Santiago dispone de $120000 para comprar algunos pantalones. Al llegar al almacén observa que hay pantalones de $4800, $5000, $6000, $8000 y $10000. Completa la tabla para saber cuántos pantalones podría llevar de una sola clase.
Nª DE PANTALONES
|
25
| ||||
PRECIO
|
4800
| ||||
PRECIOXPANTALON
|
12000
|
6. En la clase de Juan 15 estudiantes deciden hacer una excursión y compran comida suficiente para 10 días.
a) Si solo pueden ir 10 estudiantes ¿Podrían quedarse más días? Justifica tu respuesta.
b) Completa la siguiente tabla y determina cuantos días mas pueden quedarse en la excursión si solo van 5 estudiantes.
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